Exercice 13, § 4

a) On choisit une base de B de R(G, T), et on note R_+ l’ensemble des racines positives de R(G, T). Démontrer que $z_G = \prod_{\alpha \in R_+} \exp(\frac{1}{2} K_\alpha)$ est un élément de C(G), indépendant du choix de T et de B ; on a $z_G^2 = e$. b) Soit H un autre groupe de Lie compact connexe. On a $z_{G \times H} = (z_G, z_H)$; si $f : G \to H$ est un morphisme surjectif de groupes de Lie, démontrer qu’on a $f(z_G) = z_H$. c) On pose R = R(G, T) ; on suppose G simplement connexe, de sorte que X(T) s’identifie à P(R). Montrer que l’homomorphisme $\chi \mapsto \chi(z_G)$ de X(T) dans {1, -1} a pour noyau le sous-groupe P'(R) défini dans l’exerc. 8 de VI, § 1. d) Si G = SU(n, C), on a $z_G = (-1)^{n+1} I_n$; si G = SU(n, H), on a $z_G = -I_n$; si G = Spin(n, R) avec $n \equiv 3, 4, 5$ ou 6 (mod. 8), on a $z_G = -1$; si G = Spin(n, R) avec $n \equiv 0, 1, 2, 7$ (mod. 8), on a $z_G = 1$; si G est de type E_6, E_8, F_4 ou G_2, on a $z_G = e$; si G est simplement connexe de type E_7, $z_G$ est l’unique élément non nul de C(G). (Utiliser VI, § 4, exerc. 5).