Bài tập 15, § 4

Cho H là một nhóm con đóng liên thông của G. Khi đó H được gọi là sạch nếu nó không được chứa trong bất kỳ nhóm con đóng liên thông nào của hạng cực đại phân biệt với G.

a) Chứng minh rằng H sạch khi và chỉ khi tâm hóa của nó trong G bằng C(G). Đặc biệt, nếu H sạch thì $C(H) = C(G)\cap H$.

b) Từ nay giả sử rằng H là sạch. Chứng minh rằng, với mọi xuyến cực đại S của H, ta có $C(H) = S\cap C(G)$.

c) Cho $H'$ là một nhóm con đóng liên thông của G chứa H. Chứng minh rằng hạng $H<$ hạng $H'$, và suy ra rằng H là sạch trong $H'$.

d) Cho K là một nhóm con đóng liên thông của H, sạch trong H và chứa một phần tử chính quy của G. Chứng minh rằng K là sạch trong G.