Exercice 15, § 4

Soit H un sous-groupe fermé connexe de G. On dit que H est net s’il n’est contenu dans aucun sous-groupe fermé connexe de rang maximum distinct de G. a) Montrer que H est net si et seulement si son centralisateur dans G est égal à C(G). En particulier, si H est net on a $C(H) = C(G) \cap H$. b) On suppose désormais que H est net. Montrer que pour tout tore maximal S de H, on a $C(H) = S \cap C(G)$. c) Soit H’ un sous-groupe fermé connexe de G contenant H. Démontrer qu’on a $\operatorname{rg} H < \operatorname{rg} H'$, et en déduire que H est net dans H’. d) Soit K un sous-groupe fermé connexe de H, net dans H et contenant un élément régulier de G. Montrer que K est net dans G.