Bài tập 18, § 4

Giữ các ký hiệu của Bài tập 16 và 17. Nhóm con H được gọi là chính nếu nó sạch và nếu dưới-xuyến $\Delta$ chứa một phần tử chính quy (nói cách khác, nếu $k= 0$).

a) Cho K là một nhóm con đóng liên thông của H. Hãy chỉ ra rằng K là một nhóm con chính của G khi và chỉ khi K là chính trong H và H là chính trong G (dùng Bài tập $15c$) và $d))$.

b) Từ nay giả sử H là chính. Hãy chỉ ra rằng hợp của các $R(\mu)$, với $\mu\in B_H$, là một cơ sở của $R(G,T)$.

c) Cho $\alpha \in R(G,T)$. Chứng minh rằng hạn chế của $\alpha$ lên S là một bội nguyên khác không của một nghiệm $\lambda \in R(H,S)$; nghiệm $\alpha$ là một tổng của các phần tử của $R(\lambda )$ (hãy chỉ ra rằng giao của L(S) với siêu phẳng $\delta (\alpha ) = 0$ là một vách của L(S)). d) Cho $\lambda \in R(H,S)$; hãy chỉ ra rằng vectơ nút $K_{\lambda}$ là một tổ hợp tuyến tính với các hệ số nguyên không âm của các $K_{\alpha}$ với $\alpha \in R(\lambda )$ (xem Bài tập 16 $d$) và Chương V, §3, no. 5, Bổ đề 6).