Exercice 18, § 4

On conserve les notations des exerc. 16 et 17. On dit que le sous-groupe H est principal s'il est net et si le sous-tore Δ contient un élément régulier (autrement dit si k = 0). a) Soit K un sous-groupe fermé connexe de H. Montrer que pour que K soit un sous-groupe principal de G, il faut et il suffit que K soit principal dans H et H principal dans G (utiliser l'exerc. 15, c) et d)). b) On suppose désormais H principal. Montrer que la réunion des R(μ), pour μ ∈ B_H, est une base de R(G, T). c) Soit α ∈ R(G, T). Prouver que la restriction de α à S est un multiple entier non nul d'une racine λ ∈ R(H, S) ; la racine α est une somme d'éléments de R(λ) (montrer que la trace sur L(S) de l'hyperplan δ(α) = 0 est un mur de L(S)). d) Soient λ ∈ R(H, S) ; montrer que le vecteur nodal K_λ est combinaison linéaire à coefficients entiers > 0 des K_α pour α ∈ R(λ) (cf. exerc. 16, d) et V, § 3, n° 5, lemme 6).