Bài tập 20, § 4

Giả sử nhóm G là gần đơn; cho H là một nhóm con chính của G, có hạng $\geq 2$.

a) Chứng minh rằng H là nửa đơn kiểu $B_h,C_h,F_4$ hoặc $G_2$ (dùng Bài tập 19).

b) Giả sử rằng H có hạng $\geq 3$. Chứng minh rằng G có kiểu $A_l,D_l,E_6,E_7$ hoặc $E_8$ (xét các đỉnh tận cùng của đồ thị Dynkin của $R(G,T)$, và áp dụng Bài tập 19).

c) Chứng minh rằng, nếu hạng $H\geq 3$, ta ở trong một trong các trường hợp sau:

G có kiểu $A_{2l}(l\geq 3)$ và H có kiểu $B_l$;

G có kiểu $A_{2l-1}(l\geq 3)$ và H có kiểu $C_l$;

G có kiểu $D_l(l\geq 4)$ và H có kiểu $B_{l-1}$;

G có kiểu $E_6$ và H có kiểu $F_4$.

d) Chứng minh rằng, nếu H có kiểu $B_2$, thì G có kiểu $A_3$ hoặc $A_4$.

e) Chứng minh rằng, nếu H có kiểu $G_2$, thì G có kiểu $B_3,D_4$ hoặc $A_6$.

(Để có một mô tả tường minh hơn về các trường hợp này, xem §5, Bài tập 5.)

f) Cho K là một nhóm con đóng liên thông của G chứa H; chứng minh rằng hoặc K = G hoặc K = H, hoặc H có kiểu $G_2$, K có kiểu $B_3$ và G có kiểu $D_4$ hoặc $A_6$.