Exercice 20, § 4

Étiquette 01DS, permanente. À citer comme [Bourbaki, Tag 01DS].

Groupes et algèbres de Lie, IX, p. 117

On suppose le groupe G presque simple ; soit H un sous-groupe principal de G, de rang ≥ 2. a) Montrer que H est semi-simple de type B_h, C_h, F_4 ou G_2 (utiliser l'exerc. 19). b) On suppose que H est de rang ≥ 3. Montrer que G est de type A_l, D_l, E_6, E_7 ou E_8 (considérer les sommets terminaux du graphe de Dynkin de R(G, T), et appliquer l'exerc. 19).

c) Si $\mathrm{rg}\, H \geqslant 3$ , montrer qu’on est dans l’une des situations suivantes :

G \text{ est de type } A_{2l} \quad (l \geqslant 3) \text{ et } H \text{ de type } B_l ;

G \text{ est de type } A_{2l-1} \quad (l \geqslant 3) \text{ et } H \text{ de type } C_l ;

G \text{ est de type } D_l \quad (l \geqslant 4) \text{ et } H \text{ de type } B_{l-1} ;

G \text{ est de type } E_6 \qquad \text{et } H \text{ de type } F_4 .

d) Si $H$ est de type $B_2$ , montrer que $G$ est de type $A_3$ ou $A_4$ . e) Si $H$ est de type $G_2$ , montrer que $G$ est de type $B_3, D_4$ ou $A_6$ . (Pour une description plus explicite de ces situations, voir § 5, exerc. 5.) f) Soit $K$ un sous-groupe fermé connexe de $G$ contenant $H$ ; montrer qu’on a $K = G$ ou $K = H$ , ou bien que $H$ est de type $G_2$ , $K$ de type $B_3$ et $G$ de type $D_4$ ou $A_6$ .

Solution

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Exercice 20, § 4

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