Bài tập 6, § 4

Cho H là một nhóm con đóng của G chứa $N_G(T)$.

a) Chứng minh rằng H bằng chuẩn hóa của chính nó trong G, và rằng $H/H_0$ đẳng cấu với $W/W_{H_0}(T)$.

b) Chứng minh rằng $R(H_0,T)$ ổn định dưới W. Ngược lại, nếu K là một nhóm con liên thông đóng chứa T sao cho $R(K,T)$ ổn định dưới W, chuẩn hóa của K chứa chuẩn hóa của T.

c) Giả sử rằng G là gần đơn. Chứng minh rằng H bằng $N_G$(T), hoặc bằng G, hoặc là ta (sai khác một đẳng cấu) ở một trong các trường hợp sau:

$\alpha )$ (resp. $\alpha '$)$) G =$ Spin$(2l+ 1,\mathbf{R})$ (resp. $G =\mathbf{S}\mathbf{O}(2l+ 1,\mathbf{R})$) và $H_0$ là nhóm con cố định của một vectơ khác không của $\mathbf{R}^{2l+1}$, đẳng cấu với Spin$(2l,\mathbf{R})$ (resp. $\mathbf{S}\mathbf{O}(2l,\mathbf{R})$);

$\beta ) G = U(l,\mathbf{H})$ và $H_0$ là nhóm con D gồm các ma trận đường chéo; $\beta ') G = U(l,\mathbf{H})/\{\pm 1\}$ và $H_0= D/\{\pm 1\}$;

$\gamma ) G$ có kiểu $F_4$ và $H_0$ đẳng cấu với Spin$(8,\mathbf{R})$;

$\delta ) G$ có kiểu $G_2$ và $H_0$ là nhóm con (đẳng cấu với $\mathbf{S}\mathbf{U}(3,\mathbf{C})$) được xác định trong Bài tập 7 của §3.