Exercice 6, § 4

Soit $H$ un sous-groupe fermé de $G$ contenant $N_G(T)$. a) Montrer que $H$ est égal à son normalisateur dans $G$, et que $H/H_0$ est isomorphe à $W/W_{H_0}(T)$. b) Montrer que $R(H_0, T)$ est stable par $W$. Inversement si $K$ est un sous-groupe fermé connexe contenant $T$ tel que $R(K, T)$ soit stable par $W$, le normalisateur de $K$ contient celui de $T$. c) On suppose $G$ presque simple. Prouver que $H$ est égal à $N_G(T)$, ou à $G$, ou qu’on est (à isomorphisme près) dans l’une des situations suivantes : $\alpha)$ (resp. $\alpha'$) $G = \mathrm{Spin}(2l+1, \mathbf{R})$ (resp. $G = \mathrm{SO}(2l+1, \mathbf{R})$) et $H_0$ est le fixateur d’un vecteur non nul de $\mathbf{R}^{2l+1}$, isomorphe à $\mathrm{Spin}(2l, \mathbf{R})$ (resp. $\mathrm{SO}(2l, \mathbf{R})$); $\beta)$ $G = \mathbf{U}(l, H)$ et $H_0$ est le sous-groupe $D$ formé des matrices diagonales ; $\beta')$ $G = \mathbf{U}(l, H)/\{ \pm 1 \}$ et $H_0 = D/\{ \pm 1 \}$; $\gamma)$ $G$ est de type $F_4$, et $H_0$ est isomorphe à $\mathrm{Spin}(8, \mathbf{R})$; $\delta)$ $G$ est de type $G_2$, et $H_0$ est le sous-groupe (isomorphe à $\mathrm{SU}(3, \mathbf{C})$) défini dans l’exerc. 7 du § 3.