Bài tập 8, § 4

Cho H là một nhóm con đóng liên thông của G có hạng tối đa, $\mathfrak{h}$ là đại số Lie của nó, X là đa tạp $G/H$ và V là không gian tiếp xúc của X tại điểm tương ứng với lớp của H; đồng nhất V với thương $\mathfrak{g}/\mathfrak{h}$.

a) Nếu $j$ là một cấu trúc phức hầu như (Đa tạp khả vi và giải tích, Kết quả, 8.8.3) trên X, ký hiệu bởi $V''(j)$ không gian con của không gian vectơ phức $\mathbf{C}\otimes V$ gồm các phần tử $u$ sao cho $j(u) =-iu$, và bởi $\mathfrak{q}(j)$ không gian con của $\mathfrak{g}_{\mathbf{C}}$ là ảnh ngược của $V''(j)$, để cho ánh xạ chính tắc $V\rightarrow \mathfrak{g}_{\mathbf{C}}/\mathfrak{q}(j)$ là một đẳng cấu $\mathbf{C}$-tuyến tính khi V được cho cấu trúc không gian vectơ $\mathbf{C}$ cảm sinh bởi $j$. Chứng minh rằng ánh xạ $j \rightarrow \mathfrak{q}(j)$ là một song ánh từ tập hợp các cấu trúc phức hầu như trên X bất biến dưới G tới tập hợp các không gian con phức $\mathfrak{p}$ của $\mathfrak{g}_{\mathbf{C}}$ thỏa mãn các điều kiện sau:

b) Tồn tại một cấu trúc như vậy trên X khi và chỉ khi các trường giao hoán của các biểu diễn con bất khả quy của biểu diễn liên hợp của H trên V đều đẳng cấu với $\mathbf{C}$; trong trường hợp đó, có $2^s$ cấu trúc như vậy, trong đó $s$ là số các biểu diễn con bất khả quy của V (dùng Bài tập 7).

c) Cho $j$ là một cấu trúc phức hầu như trên X, bất biến dưới G, và $\mathfrak{p}=$ $\mathfrak{q}(j)$ là không gian con liên kết. Khi đó, $j$ là khả tích (nghĩa là, liên kết với một cấu trúc đa tạp giải tích-phức trên X, xem Đa tạp khả vi và giải tích, Kết quả, 8.8.5 đến 8.8.8) khi và chỉ khi $\mathfrak{p}$ thỏa mãn điều kiện

d) Tồn tại một cấu trúc phức (nghĩa là, một cấu trúc phức hầu như khả tích) trên X bất biến dưới G khi và chỉ khi H là tâm hóa tử của một xuyến trong G (hãy chỉ ra rằng các điều kiện (1) đến (4) ở trên kéo theo $\mathfrak{p}$ là một đại số con parabolic của $\mathfrak{g}_{\mathbf{C}}$ (Ch. VIII, §3, no. 5)); trong trường hợp đó, các cấu trúc phức này tương ứng song ánh với các đại số con parabolic $\mathfrak{p}$ của $\mathfrak{g}_{\mathbf{C}}$ là tổng trực tiếp của $\mathfrak{h}_{\mathbf{C}}$ và căn unipotent của chúng (xem Ch. VIII, §3, no. 4).

e) Chứng minh rằng tồn tại đúng Card(W) cấu trúc phức trên $G/T$ bất biến dưới G; nếu $\sigma$ và $\sigma '$ là hai cấu trúc như vậy, thì tồn tại một phần tử duy nhất $w\in W$ sao cho phép toán chính tắc của $w$ trên $G/T$ (bởi các tự đẳng cấu nội) biến đổi $\sigma$ thành $\sigma '$. Nếu $w$ là một phần tử không đồng nhất của W, thì phép toán của $w$ trên $G/T$ không phải là $\mathbf{C}$-giải tích đối với bất kỳ cấu trúc phức nào trên $G/T$ bất biến dưới G.

f) Xác định các cấu trúc phức trên $\mathbf{S}^2$ bất biến dưới $\mathbf{S}\mathbf{O}(3)$.

$g)^*$ Với các ký hiệu của Bài tập $8d)$, cho $G_c$ là phức hóa của G và P là nhóm con Lie phức của $G_c$ có đại số Lie $\mathfrak{p}$. Chỉ ra rằng ánh xạ chính tắc $G/H\rightarrow G_c/P$ là một đẳng cấu của các đa tạp giải tích-phức.\*