Exercice 8, § 4

Soient $H$ un sous-groupe fermé connexe de $G$, de rang maximum, $\mathfrak{h}$ son algèbre de Lie, $X$ la variété $G/H$ et $V$ l’espace tangent à $X$ au point correspondant à la classe de $H$; on identifie $V$ au quotient $g/\mathfrak{h}$.

a) Si $j$ est une structure presque complexe (VAR, R, 8.8.3) sur X, on note $V''(j)$ le sous-espace de l’espace vectoriel complexe $\mathbf{C} \otimes V$ formé des éléments $u$ tels que $j(u) = -iu$, et $q(j)$ le sous-espace de $g_C$ image réciproque de $V''(j)$, de sorte que l’application canonique $V \to g_C/q(j)$ est un isomorphisme $\mathbf{C}$-linéaire lorsqu’on munit $V$ de la structure de $\mathbf{C}$-espace vectoriel déduite de $j$. Démontrer que l’application $j \mapsto q(j)$ est une bijection de l’ensemble des structures presque complexes sur $X$, invariantes par $G$, sur l’ensemble des sous-espaces complexes $p$ de $g_C$ satisfaisant aux conditions suivantes :

(1) $p + \overline{p} = g_C$ (2) $p \cap \overline{p} = h_C$ (3) $[h, p] \subset p$.

b) Pour qu’il existe une telle structure sur $X$, il faut et il suffit que les corps commutants des sous-représentations irréductibles de la représentation adjointe de $H$ dans $V$ soient tous isomorphes à $\mathbf{C}$; s’il en est ainsi, il y a $2^s$ telles structures, où $s$ est le nombre des sous-représentations irréductibles de $V$ (utiliser l’exerc. 7). c) Soient $j$ une structure presque complexe sur $X$, invariante par $G$, et $p = q(j)$ le sous-espace associé. Pour que $j$ soit intégrable (c’est-à-dire associée à une structure de variété analytique complexe sur $X$, cf. VAR, R, 8.8.5 à 8.8.8), il faut et il suffit que $p$ satisfasse à la condition

d) Pour qu’il existe une structure complexe (c’est-à-dire presque complexe intégrable) sur $X$, invariante par $G$, il faut et il suffit que $H$ soit le centralisateur d’un sous-tore de $G$ (montrer que les conditions (1) à (4) ci-dessus impliquent que $p$ est une sous-algèbre parabolique de $g_C$ (VIII, § 3, n° 5)); ces structures complexes correspondent dans ce cas bijectivement aux sous-algèbres paraboliques $p$ de $g_C$ qui sont somme directe de $h_C$ et de leur radical unipotent (cf. VIII, § 3, n° 4). e) Démontrer qu’il existe exactement Card(W) structures complexes sur $G/T$ invariantes par $G$; si $\sigma$ et $\sigma'$ sont deux telles structures, il existe un élément $w \in W$, uniquement déterminé, telle que l’action canonique de $w$ sur $G/T$ (par automorphismes intérieurs) transforme $\sigma$ en $\sigma'$. Si $w$ est un élément non neutre de $W$, l’opération de $w$ sur $G/T$ n’est $\mathbf{C}$-analytique pour aucune structure complexe sur $G/T$ invariante par $G$. f) Déterminer les structures complexes sur $S^2$ invariantes par $SO(3)$. g) \* Avec les notations de l’exerc. 8, d), soient $G_c$ le complexifié de $G$ et $P$ le sous-groupe de Lie complexe de $G_c$ d’algèbre de Lie $p$. Montrer que l’application canonique $G/H \to G_c/P$ est un isomorphisme de variétés analytiques complexes. \*