Bài tập 6, § 5

Giả sử rằng G là đơn liên thông. Cho $p$ là một số nguyên tố và $g$ là một phần tử của C(G) sao cho $g^p=e$.

a) Chứng minh rằng tồn tại các phần tử $u\in T$ và $w\in W$ sao cho

(i) $w(u)u^{-1}=g$;

(ii) $w^p= 1$;

(iii) $u^p=e$ nếu $p\not= 2,u^p=e$ hoặc $g$ nếu $p= 2$.

(Cho A là một alcove trong $\mathfrak{t}$; với $i= 0,1, . . . , p-1$, cho $x_i\in \overline{A}$ sao cho exp $x_i=g^i$. Lấy $u$ là phần tử exp $x$, trong đó $x$ là trọng tâm của mặt của $\overline{A}$ có các đỉnh là các $x_i$, và $w$ là phần tử của W sao cho $w(A) = A-x.$)

b) Chứng minh rằng tồn tại $u\in T$ và $v\in N_G(T)$ sao cho

(i) $vuv^{-1}u^{-1}=g$;

(ii) $v^p=e$ nếu $p\not= 2,v^p=e$ hoặc $g$ nếu $p= 2$;

(iii) $u^p=e$ nếu $p\not= 2,u^p=e$ hoặc $g$ nếu $p= 2$.

(Sử dụng phép dựng trong $a$), nâng $w$ lên $n_w$ như trong Exerc. 12 của §4; lấy $v=n^{p+1}_w$ nếu $p\not= 2,v=n_w$ nếu $p= 2.)$