Exercice 6, § 5

On suppose G simplement connexe. Soient $p$ un nombre premier et $g$ un élément de $C(G)$ tel que $g^p = e$. a) Montrer qu’il existe des éléments $u \in T$ et $w \in W$ tels que (i) $w(u) u^{-1} = g$; (ii) $w^p = 1$; (iii) $u^p = e$ si $p \neq 2$, $u^p = e$ ou $g$ si $p = 2$. (Soit A une alcôve de t; pour $i = 0, 1, ..., p-1$, soit $x_i \in \overline{A}$ tel que $\exp x_i = g^i$. Prendre pour $u$ l’élément $\exp x$, où $x$ est le barycentre de la facette de $A$ dont les sommets sont les $x_i$, et pour $w$ l’élément de W tel que $w(A) = A - x.$) b) Prouver qu’il existe $u \in T$ et $v \in N_G(T)$ tels que (i) $vuv^{-1}u^{-1} = g$; (ii) $v^p = e$ si $p \neq 2$, $v^p = e$ ou $g$ si $p = 2$; (iii) $u^p = e$ si $p \neq 2$, $u^p = e$ ou $g$ si $p = 2$. (Utilisant la construction de a), relever $w$ en $n_w$ comme dans l’exerc. 12 du § 4; prendre $v = n_w^{p+1}$ si $p \neq 2$, $v = n_w$ si $p = 2$.)