Bài tập 5, § 6

Ký hiệu bởi H(G) đại số phân bậc $\mathbf{R}$ $H(\Omega (G))$ (x. Bài tập 4).

a) Không gian $H^p(G)$ là không với $p > n$ và có chiều bằng một với $p=n$ và $p= 0$. Không gian $H^1(G)$ có thể được đồng nhất một cách chính tắc với $\mathfrak{c}^*$, trong đó $\mathfrak{c}= L(C(G))$.

b) Từ bây giờ, giả sử rằng G là nửa đơn. Hãy chỉ ra rằng $H^1(G) = H^2(G) = 0$ (x. Chương I, §6, Bài tập 1).

c) Ký hiệu bởi $B(\mathfrak{g})$ không gian các dạng song tuyến tính đối xứng bất biến bởi G trên $\mathfrak{g}$; với $b\in B(\mathfrak{g})$ và $x, y, z$ trong $\mathfrak{g}$, đặt $\widetilde{b}(x, y, z) =b([x, y], z)$. Hãy chỉ ra rằng ánh xạ $b \rightarrow \widetilde{b}$ xác định một đẳng cấu từ $B(\mathfrak{g})$ tới $H^3(G)$ (lấy $\omega \in H^3(G)$; hãy chứng minh rằng, với mọi $x\in \mathfrak{g}$, tồn tại duy nhất một dạng tuyến tính $f(x)$ trên $\mathfrak{g}$ sao cho $df(x) =i(x)\omega$, và xét dạng $(x, y) \rightarrow -\langle y, f(x)\rangle$ ).

d) Hãy chỉ ra rằng chiều của không gian vectơ $\mathbf{R}$ $H^3(G)$ bằng số các iđêan đơn của $\mathfrak{g}$.