Exercice 5, § 6

On note $H(G)$ la $\mathbf{R}$-algèbre graduée $H(\Omega(G))$ (cf. exerc. 4). a) L’espace $H^p(G)$ est nul pour $p > n$, de dimension un pour $p = n$ et $p = 0$. L’espace $H^1(G)$ s’identifie canoniquement à $c^*$, avec $c = L(C(G))$. b) On suppose désormais $G$ semi-simple. Montrer qu’on a $H^1(G) = H^2(G) = 0$ (cf. I, § 6, exerc. 1). c) On note $B(g)$ l’espace des formes bilinéaires symétriques $G$-invariantes sur $g$; pour $b \in B(g)$ et $x, y, z$ dans $g$, on pose $\tilde{b}(x, y, z) = b([x, y], z)$. Montrer que l’application $b \mapsto \tilde{b}$ définit un isomorphisme de $B(g)$ sur $H^3(G)$ (soit $\omega \in H^3(G)$; prouver que pour tout $x \in g$, il existe une unique forme linéaire $f(x)$ sur $g$ telle que $df(x) = i(x)\omega$, et considérer la forme $(x, y) \mapsto -\langle y, f(x) \rangle$). d) Montrer que la dimension du $\mathbf{R}$-espace vectoriel $H^3(G)$ est égale au nombre des idéaux simples de $g$.