Bài tập 3, § 7

Cho $G =\mathbf{S}\mathbf{O}(2l,\mathbf{R})$, với $l\geq 2$; ta dùng các ký hiệu của Bài tập 2 ở §4. Ký hiệu bởi $\sigma$ biểu diễn của G trên $\mathbf{C}^{2l}$ thu được từ biểu diễn đồng nhất bằng mở rộng vô hướng.

a) $\mathbf{Z}$-môđun X(T) có cơ sở $\varepsilon_1, . . . , \varepsilon_l$.

b) Ký hiệu bởi $\eta_i$ phần tử $e^{\varepsilon_i}+e^{-\varepsilon_i}$ của $\mathbf{Z}[X(T)]$ và bởi $\delta$ phần tử

$\prod_{i=1}^l(e^{\varepsilon_i}-e^{-\varepsilon_i})$. Chứng minh rằng mọi phần tử của $\mathbf{Z}[X(T)]^W$ đều có thể viết dưới dạng

$P(\eta_1, . . . , \eta_l) + Q(\eta_1, . . . , \eta_l)\delta$, trong đó P và Q là các đa thức đối xứng theo $l$ biến với hệ số trong $\frac{1}{2}\mathbf{Z}$.

c) Chứng minh rằng các biểu diễn $\wedge \wedge^r\sigma$ là bất khả quy với $r\not=l$; biểu diễn $\wedge \wedge^l\sigma$ là tổng trực tiếp của hai biểu diễn con $\tau^+$ và $\tau^-$, có các trọng số cao nhất lần lượt là $2\varpi_l$ và $2\varpi_{l-1}$ (xem Chương VIII, §13, Bài tập 10).

d) Chứng minh rằng, với $r\leq l$, phần tử Ch($\wedge \wedge^r\sigma$ ) được cho bởi công thức trong Bài tập $2c)$ và rằng

Ch($\tau^+$) $=\frac{1}{2}(\delta +$ Ch($\wedge \wedge^l\sigma$ )) Ch($\tau^-$) $=\frac{1}{2}(-\delta +$ Ch($\wedge \wedge^l\sigma$ )).

e) Chứng minh rằng đồng cấu $u:\mathbf{Z}[X_1, . . . ,X_l; Y]\rightarrow R(G)$ sao cho $u(X_i) = [\wedge \wedge^i\sigma ]$ và $u(Y) = [\tau^+]$ là toàn ánh, và hạt nhân của nó được sinh bởi $Y^2-$ YX$_l+ A$, với $A\in \mathbf{Z}[X_1, . . . ,X_l]$.