Exercice 3, § 7

Soit $G = SO(2l, \mathbf{R})$, avec $l \geq 2$ ; on utilise les notations de l'exerc. 2 du § 4. On note $\sigma$ la représentation de $G$ dans $\mathbf{C}^{2l}$ obtenue par extension des scalaires à partir de la représentation identique. a) Le $\mathbf{Z}$-module $X(T)$ admet pour base $\varepsilon_1, ..., \varepsilon_l$. b) On note $\eta_i$ l'élément $e^{\varepsilon_i} + e^{-\varepsilon_i}$ de $\mathbf{Z}[X(T)]$, et $\delta$ l'élément $\prod_{i=1}^l (e^{\varepsilon_i} - e^{-\varepsilon_i})$. Montrer que tout élément de $\mathbf{Z}[X(T)]^W$ s'écrit $P(\eta_1, ..., \eta_l) + Q(\eta_1, ..., \eta_l) \delta$, où $P$ et $Q$ sont des polynômes symétriques en $l$ variables, à coefficients dans $\frac{1}{2}\mathbf{Z}$. c) Montrer que les représentations $\Lambda^r \sigma$ sont irréductibles pour $r \neq l$ ; la représentation $\Lambda^l \sigma$ est somme directe de deux sous-représentations $\tau^+$ et $\tau^-$, de plus grands poids $2\varpi_l$ et $2\varpi_{l-1}$ respectivement (voir VIII, § 13, exerc. 10). d) Montrer que pour $r \leq l$ l'élément $\operatorname{Ch}(\Lambda^r \sigma)$ est donné par la formule de l'exerc. 2, c), et qu'on a

e) Montrer que l'homomorphisme $u : \mathbf{Z}[X_1, ..., X_l; Y] \to R(G)$ tel que $u(X_i) = [\Lambda^i \sigma]$ et $u(Y) = [\tau^+]$ est surjectif, et que son noyau est engendré par $Y^2 - YX_l + A$, avec $A \in \mathbf{Z}[X_1, ..., X_l]$.