Bài tập 7, § 7

Cho $\tau : G\rightarrow \mathbf{S}\mathbf{O}(n,\mathbf{R})$ là một biểu diễn unita thực của G; ký hiệu $\varphi :$ Spin$(n,\mathbf{R})\rightarrow \mathbf{S}\mathbf{O}(n,\mathbf{R})$ là phép phủ kép chính tắc. Khi đó $\tau$ được gọi là spinorial nếu tồn tại một cấu xạ $\widetilde{\tau}: G\rightarrow$ Spin$(n,\mathbf{R})$ sao cho $\varphi \circ \widetilde{\tau}=\tau$.

a) Cho $\Sigma$ là một tập con của $P(T, \tau )$ sao cho $\Sigma \cup (-\Sigma ) = P(T, \tau )$ và $\Sigma \cap (-\Sigma ) =\emptyset$; ký hiệu $\omega_{\Sigma}$ là tổng của các phần tử của $\Sigma$. Lớp $\varpi$ của $\omega_{\Sigma}$ trong $X(T)/2X(T)$ là độc lập với lựa chọn $\Sigma$. Chứng minh rằng $\tau$ là spinorial khi và chỉ khi $\varpi = 0$. b) Chứng minh rằng $\rho \in X(T)$ khi và chỉ khi biểu diễn phụ hợp là spinorial.