Exercice 7, § 7

Soit $\tau : G \to \mathrm{SO}(n, \mathbf{R})$ une représentation unitaire réelle de $G$; notons $\varphi : \mathrm{Spin}(n, \mathbf{R}) \to \mathrm{SO}(n, \mathbf{R})$ le revêtement double canonique. On dit que $\tau$ est spinorielle s’il existe un morphisme $\tilde{\tau} : G \to \mathrm{Spin}(n, \mathbf{R})$ tel que $\varphi \circ \tilde{\tau} = \tau$. a) Soit $\Sigma$ une partie de $P(T, \tau)$ telle que $\Sigma \cup (-\Sigma) = P(T, \tau)$ et $\Sigma \cap (-\Sigma) = \emptyset$; on note $\omega_\Sigma$ la somme des éléments de $\Sigma$. La classe $\varpi$ de $\omega_\Sigma$ dans $X(T)/2X(T)$ est indépendante du choix de $\Sigma$. Démontrer que $\tau$ est spinorielle si et seulement si $\varpi = 0$. b) Démontrer qu’on a $\rho \in X(T)$ si et seulement si la représentation adjointe est spinorielle.