Bài tập 11, § 4

Cho (W, S) là một hệ Coxeter kiểu H_3 (x. Định lý 1).

a) Với ký hiệu của Ch. V, § 6, no. 2. Chứng minh của Bổ đề 2, hãy chỉ ra rằng $(z', z'') = \pi/5$; suy ra rằng số Coxeter h của W bằng 10, và các số mũ của W là 1, 5 và 9.

b) Bằng cách sử dụng a), hãy chỉ ra rằng Card(W) = 120, và số các phép phản xạ trong W là 15.

c) Tìm lại công thức Card(W) = 120 bằng cách áp dụng Bài tập 5 của Ch. V, § 3.

d) Gọi $\mathscr{A}_5$ là nhóm phản xứng của {1, ..., 5}; nếu a, b, c, d là các phần tử phân biệt của {1, ..., 5}, ký hiệu bởi (ab) phép hoán vị đổi chỗ a và b, và bởi (ab)(cd) tích của các phép hoán vị đổi chỗ (ab) và (cd). Đặt

Hãy chỉ ra rằng $(r_1 r_2)^5 = (r_2 r_3)^3 = (r_1 r_3)^2 = 1$. Suy ra sự tồn tại của một đồng cấu $f : W \to \mathscr{A}_5$ biến S thành $\{r_1, r_2, r_3\}$; hãy chỉ ra rằng f là toàn ánh.

e) Gọi $\varepsilon : W \to \{\pm 1\}$ là đồng cấu $w \mapsto (-1)^{l(w)}$. Hãy chỉ ra rằng

là một đẳng cấu. (Dùng việc rằng hai nhóm đang xét có cùng cấp.)