Exercice 11, § 4

Soit (W, S) un système de Coxeter de type $H_3$ (cf. th. 1).

a) Les notations étant celles du chap. V, § 6, no 2, démonstration du lemme 2, montrer que $(\overline{z'}, \overline{z''}) = \pi/5$; en déduire que le nombre de Coxeter $h$ de $W$ est égal à 10, et que les exposants de $W$ sont 1, 5 et 9.

b) Montrer, en utilisant a), que $\mathrm{Card}(W) = 120$, et que le nombre de réflexions de $W$ est 15.

c) Retrouver la formule $\mathrm{Card}(W) = 120$ en appliquant l’exerc. 5 du chap. V, § 3.

d) Soit $\mathfrak{A}_5$ le groupe alterné de $\{1, \ldots, 5\}$; si $a, b, c, d$ sont des éléments distincts de $\{1, \ldots, 5\}$, notons $(ab)$ la transposition de $a$ et $b$, et $(ab)(cd)$ le produit des transpositions $(ab)$ et $(cd)$. Soient :

Montrer que $(r_1 r_2)^5 = (r_2 r_3)^3 = (r_1 r_3)^2 = 1$. En déduire l’existence d’un homomorphisme $f : W \to \mathfrak{A}_5$ appliquant S sur $\{r_1, r_2, r_3\}$; montrer que $f$ est surjectif.

e) Soit $\varepsilon : W \to \{\pm 1\}$ l’homomorphisme $w \mapsto (-1)^{l(w)}$. Montrer que

est un isomorphisme. (Utiliser le fait que les deux groupes considérés ont même ordre.)