习题 11, § 4

令 (W, S) 为型 H_3 (cf. Th.1) 的 Coxeter 系统。

a) 与第 1 章的记号 V, § 6, no. 2。 引理2的证明，表明$(z', z'') = \pi/5$；推导出 W 的 Coxeter 数 h 等于 10，并且 W 的指数为 1、5 和 9。

b) 使用 a) 显示 Card(W) = 120，并且 W 中的反射数为 15。

c) 通过应用锻炼恢复公式卡(W) = 120。第 5 章V, § 3。

d) 设 $\mathscr{A}_5$ 为 {1, ..., 5} 的交错的群；如果 a, b, c, d 与 {1, ..., 5} 不同元素，则表示 (ab) a 和 b 的转置，以及 (ab)(cd) 乘积表示 (ab) 和 (cd) 的转置。让

证明$(r_1 r_2)^5 = (r_2 r_3)^3 = (r_1 r_3)^2 = 1$。推导出将S带到$\{r_1, r_2, r_3\}$的同态$f : W \to \mathscr{A}_5$的存在性；证明 f 是满射的。

e) 令 $\varepsilon : W \to \{\pm 1\}$ 为同态 $w \mapsto (-1)^{l(w)}$。表明

是同构。 （使用所考虑的两个群具有相同的阶的事实。）