Bài tập 3, § 4

Cho $R$ là một hệ nghiệm kiểu $E_7$.

a) Đặt $E = Q(R)/2P(R)$. Đây là một không gian vectơ $\mathbf{F}_2$ chiều 6. Với ký hiệu ở No. 11, hãy chứng minh rằng tích vô hướng $(x|y)$ xác định một dạng song tuyến tính phản xứng không suy biến trên $E$.

b) Suy ra từ a) sự tồn tại của một dãy khớp

(Hãy sử dụng sự kiện rằng $Sp(6, \mathbf{F}_2)$ có cấp $2^9.3^4.5.7.$)

c) Chứng minh rằng hạn chế của $h$ lên $W^+(R)$ là một đẳng cấu từ $W^+(R)$ lên $Sp(6, \mathbf{F}_2)$.

d) Hãy đưa ra một chứng minh thứ hai của b) bằng cách sử dụng dạng toàn phương $q_7$ trên không gian vectơ $\mathbf{F}_2$ $Q(R)/2Q(R)$ cảm sinh bởi $\frac{1}{2}(x|x)$, cũng như đẳng cấu