Exercice 3, § 4

Soit R un système de racines de type E₇.

a) On pose E = Q(R)/2P(R). C’est un F₂-espace vectoriel de dimension 6. Avec les notations du n° 11, montrer que le produit scalaire (x|y) définit sur E une forme bilinéaire alternée non dégénérée.

b) Déduire de a) l’existence d’une suite exacte

(Utiliser le fait que Sp(6,F₂) est d’ordre 2⁹.3⁴.5.7.)

c) Montrer que la restriction de h à W⁺(R) est un isomorphisme de W⁺(R) sur Sp(6, F₂).

d) Donner une seconde démonstration de b) en utilisant la forme quadratique q₇ sur le F₂-espace vectoriel Q(R)/2Q(R) déduite de $\frac{1}{2} (x|x)$ par passage au quotient, ainsi que l’isomorphisme