习题 3, § 4

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李群与李代数, VI

Bourbaki marks this one as harder than the rest.

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令 $R$ 为型 $E_7$ 中的根系。

a) 输入 $E = Q(R)/2P(R)$ 。这是维数 6 的 $\mathbf{F}_2$ 向量空间。通过 no. 11 中的记号，证明标量乘积 $(x|y)$ 定义是 $E$ 上的非简并交错的双线性形式。

b) 从a) 推出正合序列的存在

1 \to \{1, -1\} \to W(R) \xrightarrow{h} Sp(6, \mathbf{F}_2) \to 1.

（使用 $Sp(6, \mathbf{F}_2)$ 是阶 $2^9.3^4.5.7.$ 的事实）

c) 证明 $h$ 到 $W^+(R)$ 的限制是从 $W^+(R)$ 到 $Sp(6, \mathbf{F}_2)$ 的同构。

d) 通过使用由 $\frac{1}{2}(x|x)$ 导出的 $\mathbf{F}_2$ 向量空间 $Q(R)/2Q(R)$ 上的二次形式 $q_7$ 以及同构给出 b) 的第二个证明

O(q_7) \to Sp(6, \mathbf{F}_2).

解答

尚未写出解答。

被以下引用

无。

无。