Bài tập 1, Phụ lục 2

Cho X là một không gian tôpô địa phương liên thông, $\mathscr{C}(X)$ là không gian các hàm liên tục nhận giá trị thực trên X, và $d$ là một số nguyên $\geq 0$. Cho $F\in \mathscr{C}(X)[T]$ là một đa thức đơn khởi bậc $d$ với các hệ số trong $\mathscr{C}(X):$

Đồng nhất F với một hàm trên $\mathbf{R}\times X$ bằng cách đặt

$F(t, x) =t^d+t^{d-1}f_1(x) +\cdots +f_d(x)$ nếu $t\in \mathbf{R}, x\in X$.

Cho $\Delta \in \mathscr{C}(X)$ là biệt thức của đa thức F (Đại số, Chương IV, §1, no. 10).

Nếu U là một tập con mở của X, ký hiệu bởi $Z_U$ tập hợp các $(t, x)$, với $t\in \mathbf{R}$ và $x\in U$, sao cho $F(t, x) = 0$; đó là một tập con đóng của $\mathbf{R}\times U$.

a) Chứng minh rằng phép chiếu pr$_2: Z_U\rightarrow U$ là riêng (Tôpô đại cương, Chương I, §10).

b) Giả sử rằng U liên thông và rằng $\Delta (x)\not= 0$ với mọi $x\in U$. Chứng minh rằng $Z_U\rightarrow U$ là một phủ của U (Tôpô đại cương, Chương XI) có bậc $\leq d$, và rằng số các thành phần liên thông của $\mathbf{R}\times U$-- $Z_U$ là $\leq d+ 1$.

c) Gọi $X'$ là tập hợp các điểm của X tại đó $\Delta$ là $\not= 0$. Giả sử rằng $X'$ trù mật trong X. Ký hiệu bởi $\mathscr{A}$ (tương ứng $\mathscr{B}$) tập hợp các thành phần liên thông của $X'$ (tương ứng của $\mathbf{R}\times X$-- $Z_X$). Chứng minh rằng

Card($\mathscr{B}$)$\leq (d+$ 1)Card($\mathscr{A}$) (dùng $b$)$)$.

d) Giả sử rằng X liên thông, và rằng $d\geq 1$. Chứng minh rằng

Card($\mathscr{B}$)$\leq 1 +d$ Card($\mathscr{A}$).