Exercice 1, Annexe 2

Soient $X$ un espace topologique localement connexe, $C(X)$ l’espace des fonctions continues réelles sur $X$, et $d$ un entier $\geqslant 0$. Soit $F \in C(X)[T]$ un polynôme unitaire de degré $d$ à coefficients dans $C(X)$:

On identifie $F$ à une fonction sur $\mathbf{R} \times X$, en posant Soit $\Delta \in C(X)$ le discriminant du polynôme $F$ (A, IV, § 1, no 10). Si $U$ est un ouvert de $X$, on note $Z_U$ l’ensemble des $(t, x)$, avec $t \in \mathbf{R}$ et $x \in U$, tels que $F(t, x) = 0$; c’est une partie fermée de $\mathbf{R} \times U$. a) Montrer que la projection $\mathrm{pr}_2 : Z_U \to U$ est propre (TG, I, § 10). b) On suppose que $U$ est connexe et que $\Delta(x) \neq 0$ pour tout $x \in U$. Montrer que $Z_U \to U$ est un revêtement de $U$ (TG, XI) de degré $\leq d$, et que le nombre de composantes connexes de $\mathbf{R} \times U - Z_U$ est $\leq d + 1$. c) Soit $X'$ l’ensemble des points de $X$ en lesquels $\Delta$ est $\neq 0$. On suppose $X'$ dense dans $X$. On note $\mathscr{A}$ (resp. $\mathscr{B}$) l’ensemble des composantes connexes de $X'$ (resp. de $\mathbf{R} \times X - Z_X$). Montrer que

d) On suppose X connexe, et $d \geqslant 1$. Montrer que