Bài tập 13, § 1

Giả sử rằng $k=\mathbf{C}$. Đặt $C =H^2+ 2H-4X_-X_+$, xem Bài tập 1. Một biểu diễn $\rho$ của $\mathfrak{s}=\mathfrak{s}\mathfrak{l}(2,\mathbf{C})$ được gọi là chéo hóa được theo $H$ nếu không gian nền của $\rho$ có một cơ sở gồm các vectơ riêng của $\rho (H)$. Cho $q\in \mathbf{C}$ và $v\in \mathbf{Q}/\mathbf{Z}$.

a) Cho S là một không gian vectơ với một cơ sở $(e_w)_{w\in\mathbf{C}}$ được đánh chỉ số bởi các phần tử của $\mathbf{C}$. Đặt $S_v=\sum_{w\in v}\mathbf{C}e_w$. Tồn tại một biểu diễn duy nhất $\rho_{v,q}$ của $\mathfrak{s}$ trên $S_v$ sao cho

$^7$ Kết luận vẫn đúng ngay cả khi $k$ là đếm được, xem D. QUILLEN, On the

vành tự đồng cấu của một môđun đơn trên một đại số bao, Proc. Amer.

Math. Soc., Vol. XXI (1969), pp. 171-172.

(Ta quy ước rằng, với mọi $z\in \mathbf{C},z^{1/2}$ là căn bậc hai của $z$ có biên độ thuộc $0, \pi .$) Ký hiệu bởi $S_{v,q}$ môđun $\mathfrak{s}$ được xác định bởi $\rho_{v,q}$. Ta có $\rho_{v,q}(C) = 4q$.

b) Nếu $q\not=u^2+u$ với mọi $u\in v, S_{v,q}$ là đơn.

c) Giả sử rằng $2v\not= 0$, và rằng $q$ có dạng $u^2+u$, trong đó $u\in v, u\geq 0$ (điều này xác định $u$ một cách duy nhất). Gọi $S^-_{v,q}$ (tương ứng $S^+_{v,q}$) là không gian con vectơ của $S_v$ sinh bởi các $e_w$ với $w\leq u$ (tương ứng $w > u$). Khi đó $S^-_{v,q}$ và $S^+_{v,q}$ là các môđun con $\mathfrak{s}$ đơn của $S_{v,q}$.

d) Giả sử rằng $2v= 0$, và rằng $q$ có dạng $u^2+u$, trong đó $u\in v, u\geq 0$ (điều này xác định $u$ một cách duy nhất). Gọi $S^-_{v,q}$ (tương ứng $S^0_{v,q},S^+_{v,q}$) là không gian con vectơ của $S_v$ sinh bởi các $e_w$ với $w <-u$ (tương ứng $-u\leq w\leq u, w > u$). Khi đó $S^-_{v,q},S^0_{v,q}$ và $S^+_{v,q}$ là các môđun con $\mathfrak{s}$ đơn của $S_{v,q}$.

e) Giả sử rằng $v=-\frac{1}{2}+\mathbf{Z}$ và $q=-\frac{1}{4}$. Gọi $S^-_{-1/2,-1/4}$ (resp. $S^+_{-1/2,-1/4}$) là không gian con vectơ của $S_{-1/2}$ được sinh bởi các $e_w$ với $w\leq -\frac{1}{2}$ (resp. $w >-\frac{1}{2}$). Khi đó $S^-_{-1/2,-1/4}$ và $S^+_{-1/2,-1/4}$ là các $\mathfrak{s}$-môđun con đơn của $S_{-1/2,-1/4}$.

f) Ký hiệu bởi $\rho^{\pm}_{v,q}, \rho^0_{v,q}$ các biểu diễn tương ứng với $S^{\pm}_{v,q},S^0_{v,q}$. Trong trường hợp b), các phần tử $x\in \mathfrak{s}$ sao cho $\rho^-_{v,q}(x)$ nhận một trị riêng là những phần tử thuộc $\mathbf{C}H$. Trong các trường hợp $c),d),e)$, các phần tử $x\in \mathfrak{s}$ sao cho $\rho^-_{v,q}(x)$ nhận một trị riêng là những phần tử thuộc $\mathbf{C}H+\mathbf{C}X_+$; hơn nữa, nếu $x$ lũy linh (và do đó tỉ lệ với $X_+$) và khác không, thì $\rho^-_{v,q}(x)$ nhận 0 là trị riêng duy nhất của nó, với bội số bằng 1; mặt khác, nếu $x$ nửa đơn, thì không gian nền của $\rho^-_{v,q}$ có một cơ sở gồm các vectơ riêng của $\rho^-_{v,q}(x)$. Có các kết quả tương tự đối với $\rho^+_{v,q}$, thay thế $X_+$ bởi $X_-$.

g) Gọi V là một $\mathfrak{s}$-môđun đơn và $\rho$ là biểu diễn tương ứng. Khi đó $\rho (C)$ là một phép vị tự (dùng Bài tập 11). Giả sử rằng $\rho (C) = 4q$. Hãy chỉ ra rằng, nếu $\rho$ chéo hóa được theo $H$, thì V đẳng cấu với một trong các môđun $S_{v,q},S^{\pm}_{v,q},S^0_{v,q}$ đã xét trong $b),c),d),e)$. Hơn nữa, $\rho$ chéo hóa được theo $H$ khi và chỉ khi $\rho (H)$ nhận một trị riêng; chỉ cần $\rho (X_+)$ nhận trị riêng 0.