Bài tập 16, § 1

Cho $\mathfrak{g}$ là một đại số Lie đơn có chiều 3, và gọi $\Phi$ là dạng Killing của nó. Ký hiệu $\mathfrak{o}(\Phi )$ là đại số trực giao của $\Phi$, tức là đại số con của $\mathfrak{g}\mathfrak{l}(\mathfrak{g})$ gồm các phần tử làm $\Phi$ bất biến.

a) Chỉ ra rằng ad$:\mathfrak{g}\rightarrow \mathfrak{o}(\Phi )$ là một đẳng cấu.

b) Chứng minh sự tương đương của các tính chất sau:

(i) $\mathfrak{g}$ chứa một vectơ đẳng hướng khác không (đối với $\Phi$ ).

(ii) $\mathfrak{g}$ chứa một phần tử lũy linh khác không.

(iii) $\mathfrak{g}$ đẳng cấu với $\mathfrak{s}$.

c) Chỉ ra rằng tồn tại một mở rộng $k_1$ của $k$, có bậc $\leq 2$, sao cho $\mathfrak{g}_{(k_1)}=k_1\otimes_k\mathfrak{g}$ đẳng cấu với $\mathfrak{s}_{(k_1)}$.

$^8$ Để biết thêm chi tiết về Bài tập 12, 13 và 14, xem: D. ARNAL và G. PINCZON,

Sur les représentations algébriquement irréductibles de l’algèbre de Lie $\mathfrak{s}\mathfrak{l}$(2), J.

Math. Phys., Vol. 15 (1974), pp. 350-359. d) Trang bị cho không gian vectơ $A =k\oplus \mathfrak{g}$ cấu trúc đại số duy nhất nhận 1 làm phần tử đơn vị, và sao cho tích $\mathfrak{g}\times \mathfrak{g}\rightarrow A$ được cho bởi công thức

Chỉ ra rằng A là một đại số quaternion trên $k$, và $\mathfrak{g}$ là đại số Lie con của A gồm các phần tử có vết bằng không (rút gọn, bằng cách mở rộng trường cơ sở, về trường hợp $\mathfrak{g}=\mathfrak{s}$, và chỉ ra rằng khi đó có thể đồng nhất A với đại số ma trận $\mathbf{M}_2(k)$).

Ngược lại, nếu D là một đại số quaternion trên $k$, thì các phần tử của D có vết bằng không tạo thành một đại số Lie đơn có chiều 3, và đại số tương ứng A có thể được đồng nhất với D.

e) Chứng minh các công thức

$\Phi (x, x) =-$8Nrd$_A(x),\Phi (x, y) =$ 4Trd$_A(xy)$

f) Chỉ ra rằng biệt thức của $\Phi$ (đối với bất kỳ cơ sở nào của $\mathfrak{g}$) có dạng $-2\lambda^2$, với $\lambda \in k^*$.

g) Gọi $n$ là một số nguyên $\geq 0$. Chỉ ra rằng $\mathfrak{g}$-môđun $\mathbf{S}^n(\mathfrak{g})$ có một môđun con đơn duy nhất có chiều $2n+ 1$, và môđun này là đơn tuyệt đối (rút gọn về trường hợp $\mathfrak{g}=\mathfrak{s}$, và dùng Bài tập 9).

Chỉ ra rằng $\mathfrak{g}$ chỉ có một môđun đơn tuyệt đối có chiều $2n$ nếu $\mathfrak{g}$ đẳng cấu với $\mathfrak{s}$, tức là chỉ nếu A đẳng cấu với $\mathbf{M}_2(k)$. (Gọi V là một môđun như vậy. Nếu $n\geq 2$, chỉ ra bằng cách dùng Bài tập $6c$) rằng $\mathfrak{g}$-môđun $V\otimes \mathfrak{g}$ có một môđun con đơn tuyệt đối duy nhất có chiều $2n-2$. Sau đó rút gọn về trường hợp $n= 1$, là trường hợp tầm thường.)