Bài tập 19, § 13

Cho V là một không gian vectơ hữu hạn chiều và $E = V\oplus V^*$. Định nghĩa một dạng song tuyến tính không suy biến $\Phi$ trên E bởi

Đặt $N =\bigwedge(V)$ và $Q(x) =\frac{1}{2}\Phi (x, x)$ với $x\in E$. Ký hiệu biểu diễn spinơ bởi $\lambda : C(Q)\rightarrow$ End(N) như trong no. 2.IV, định nghĩa $f:\mathfrak{o}(\Phi )\rightarrow C^+(Q)$ như trong Bổ đề 1 của no. 2, và ký hiệu $\rho$ là biểu diễn tuyến tính $\lambda \circ f$ của đại số $\mathfrak{o}(\Phi )$ trên N.

a) Gắn với mọi tự đồng cấu $u$ của V tự đồng cấu $\widetilde{u}$ của E bởi công thức $\widetilde{u}(x, x^*) = (u(x),-^tu(x^*))$. Chứng minh rằng $u \rightarrow \widetilde{u}$ là một đồng cấu của các đại số Lie từ $\mathfrak{g}\mathfrak{l}(V)$ vào $\mathfrak{o}(\Phi )$; hơn nữa, với $u$ trong $\mathfrak{g}\mathfrak{l}$(V), $\rho (\widetilde{u})$ là đạo hàm duy nhất của đại số $\bigwedge(V) = N$ trùng với $u$ trên V.

b) Cho $\Psi$ là một dạng song tuyến tính phản xứng không suy biến trên V và $\gamma : V\rightarrow V^*$ là đẳng cấu được xác định bởi $\Psi (x, y) =\langle x, \gamma (y)\rangle$ với $x, y$ trong V. Chứng minh rằng các tự đồng cấu $\widetilde{X}_+$ và $\widetilde{X}_-$ của E được xác định bởi

thuộc về $\mathfrak{o}(\Phi )$. Đặt $\widetilde{H}= (-1\widetilde{)}$. Chứng minh rằng $( \widetilde{H},\widetilde{X}_+,\widetilde{X}_-)$ là một bộ ba $\mathfrak{s}\mathfrak{l}_2$ trong đại số Lie $\mathfrak{o}(\Phi )$.

c) Chứng minh rằng $\rho$ đưa các tự đồng cấu $\widetilde{H},\widetilde{X}_+,\widetilde{X}_-$ của $\mathfrak{o}(\Phi )$ thành các tự đồng cấu của N được ký hiệu lần lượt là $H, X_+$ và $X_-$, trong no. 3.IV. Suy ra rằng $(H, X_+, X_-)$ là một bộ ba $\mathfrak{s}\mathfrak{l}_2$ trong đại số Lie $\mathfrak{g}\mathfrak{l}(N)$.