Bài tập 6, § 2

Cho $(X_{\alpha})_{\alpha\in R}$ là một hệ Chevalley trong đại số Lie nửa đơn tách $(\mathfrak{g},\mathfrak{h})$. Cho $\alpha , \beta \in R$, và cho $p$ (resp. $q$) là số nguyên lớn nhất $j$ sao cho $\beta +j\alpha \in R$ (resp. $\beta -j\alpha \in R$), xem Bổ đề 4. Hãy chỉ ra rằng

ad($X_{\alpha}$)$^k(X_{\beta-q\alpha}) =\pm k$!$X_{\beta+(k-q)\alpha}$ với $0\leq k\leq p+q$.

Suy ra rằng đại số $\mathfrak{g}_{\mathbf{Z}}$ của Mệnh đề 8 là ổn định dưới các ad($X_{\alpha}$)$^k/k$! và dưới các $e^{ad(X_{\alpha})}$ (xem §12).