Bài tập 10, § 5

Cho $\mathfrak{h}$ là một đại số con Cartan tách của $\mathfrak{g}$, và $(X_{\alpha})_{\alpha\in R}$ là một hệ Chevalley trong $(\mathfrak{g},\mathfrak{h})$, cf. §2, no. 4. Nếu $\alpha \in R$, đặt

và ký hiệu $\overline{W}$ là nhóm con của Aut$_e(\mathfrak{g},\mathfrak{h})$ sinh bởi các $\theta_{\alpha}$.

a) Chứng minh rằng $\varepsilon (W) = W(R)$.

b) Cho $s\in W$, và đặt $w=\varepsilon (s)$. Chứng minh rằng

$s(X_{\alpha}) =\pm X_{w(\alpha)}$ với mọi $\alpha \in R$.

(Dùng Bài tập 5 của §2.)

c) Cho M là hạt nhân của $\varepsilon :\overline{W}\rightarrow W(R)$. Chứng minh rằng M được chứa trong nhóm con của $f(T_Q)$ gồm các phần tử $f(\varphi )$ sao cho $\varphi^2= 1$. Chứng minh rằng M chứa các phần tử $f(\varphi_{\alpha})$ được xác định bởi $\varphi_{\alpha}(\beta ) = (-1)^{\langle\beta ,\alpha^{\vee}\rangle}$ (nhận xét rằng $\theta^2_{\alpha}=f(\varphi_{\alpha})$).

$d)^*$Cho $\varphi \in$ Hom(Q$,\{\pm 1\}$). Chứng minh rằng $f(\varphi )$ thuộc M khi và chỉ khi $\varphi$ mở rộng thành một đồng cấu từ P đến $\{\pm 1\}$. (Điều kiện đủ suy ra từ sự kiện M chứa các $f(\varphi_{\alpha})$. Để chứng minh điều kiện cần, rút gọn về trường hợp $k=\mathbf{Q}$, và dùng sự kiện M được chứa trong $f(T_Q)\cap$ Aut$_e(\mathfrak{g}) =$ Im(T$_P$), cf. §7, Bài tập $26d$).) Suy ra rằng M đẳng cấu với đối ngẫu của nhóm $Q/(Q\cap 2P).^{13}$\*