Bài tập 20, § 7

Giả sử $k=\mathbf{R}$ hoặc $\mathbf{C}$. Cho $\Gamma$ là một nhóm Lie đơn liên thông có đại số Lie $\mathfrak{g}$. Cho $\lambda , \mu,E,F,G$ như trong Mệnh đề 10. Gọi $(e_1, . . . , e_n)$ (resp. $(f_1, . . . , f_p)$) là một cơ sở của E (resp. F) gồm các vectơ riêng của $\mathfrak{h}$, với $e_1\in E^{\lambda}$ và $f_1\in F^\mu$. Ta có thể xem $E,F,G$ như các $\Gamma$ -môđun. Nếu $\gamma \in \Gamma$, ký hiệu bởi $a_i(\gamma )$ tọa độ chỉ số $i$ của $\gamma .e_1$, và $b_j(\gamma )$ tọa độ chỉ số $j$ của $\gamma .f_1$. Chứng tỏ rằng hàm $a_ib_j$ trên $\Gamma$ không đồng nhất bằng không. Suy ra rằng, với mọi $(i, j)$, tồn tại một phần tử của $G\subset E\otimes F$ mà tọa độ chỉ số $(i, j)$ của nó là $\not= 0$; đối với $k=\mathbf{R}$ hoặc $\mathbf{C}$, điều này cho một chứng minh mới của Mệnh đề 10. Từ đó chuyển sang trường hợp $k=\mathbf{Q}$, rồi đến trường hợp của một trường tùy ý, xem Bài tập 4.