Bài tập 23, § 7

Cho $U^0$ là hoán tập của $\mathfrak{h}$ trong $U(\mathfrak{g})$ (xem §6, no. 4).

a) Cho V là một $\mathfrak{g}$-môđun (hữu hạn chiều). Chứng minh rằng các $V^{\lambda},\lambda \in P$, là ổn định dưới tác dụng của $U^0$, và rằng, nếu V là đơn và $V^{\lambda}\not= 0, V^{\lambda}$ là một $U^0$-môđun đơn (sử dụng phân tích $U(\mathfrak{g}) =\oplus U^{\lambda}$, tại chỗ đã dẫn).

b) Chứng minh rằng, với mọi phần tử $c\not= 0$ của $U^0$, tồn tại một biểu diễn đơn hữu hạn chiều $\rho$ của $U^0$ sao cho $\rho (c)\not= 0$. (Sử dụng $a$) và Chương I, §7, Bài tập $3a).)$