Bài tập 3, § 11

Cho $A, B$ là hai tập con của một không gian tôpô $X$.

a) Chứng minh rằng nếu $A$ và $B$ là đóng trong $X$, và $A \cup B$ và $A \cap B$ là liên thông, thì $A$ và $B$ là liên thông. Hãy đưa ra một ví dụ để chỉ ra rằng mệnh đề này không còn nhất thiết đúng khi một trong các tập $A, B$ không đóng.

b) Giả sử rằng $A$ và $B$ là liên thông và $\overline{A} \cap B \neq \varnothing$. Chứng minh rằng $A \cup B$ là liên thông.