Bài tập 3, § 2

Cho $X, X'$ là hai không gian tôpô, $f$ là một song ánh của $X$ lên $X'$: khi đó điều kiện cần và đủ để $f$ là một đồng phôi

(*) Để xem một ví dụ về một không gian thỏa mãn $(D_{IV})$ nhưng không thỏa mãn cả $(D_{II})$ lẫn $(D_{III})$, xem $§ 8$, Bài tập 6 b). Để xem một ví dụ về một không gian thỏa mãn $(D_{II})$ và $(D_{III})$, nhưng không thỏa mãn $(D_I)$, xem Chương IX, $§ 5$, Bài tập 16. Để xem các ví dụ về những không gian mà một trong hai điều kiện $(D_{II}), (D_{III})$ được thỏa mãn nhưng điều kiện kia không được thỏa mãn, xem $§ 9$, Bài tập 23.

\* Trong một không gian mêtric hóa được, $(D_I)$ và $(D_{IV})$ là tương đương: Mệnh đề 12 của Chương IX, $§ 2$, no. 8 cho thấy rằng $(D_I)$ và $(D_{II})$ là tương đương; mặt khác, nếu $(D_{IV})$ được thỏa mãn, thì với mỗi số nguyên $n > 0$ tồn tại một họ đếm được cực đại $\mathfrak{B}_n = (B_{nm})_{m \geq 0}$ gồm các quả cầu rời nhau từng đôi một có bán kính $1/n$; hợp của chúng là trù mật. Tập hợp đếm được các tâm của các $B_{nm}$ khi đó là trù mật. \* của $X$ lên $X'$ là tôpô của $X'$ là tôpô mịn nhất sao cho $f$ liên tục.