Bài tập 3, § 5

Cho $(x_i)_{i \in I}$ là một họ các điểm của một nhóm giao hoán Hausdorff $G$. Với mỗi tập con hữu hạn $H$ của $I$, gọi $s_H$ là $\sum_{i \in H} x_i$, và gọi $A$ là tập hợp các điểm tụ của ánh xạ $H \to s_H$ đối với tập có hướng $\mathfrak{F}(I)$. Với mỗi tập con hữu hạn $J$ của $I$, gọi $\Phi(J)$ là bao đóng của tập hợp các điểm $s_H$, trong đó $H$ chạy qua các tập con hữu hạn của $I$ sao cho $H \cap J = \varnothing$. Chứng minh rằng nếu $A \neq \varnothing$ thì tập hợp $A - A$ (nghĩa là tập hợp tất cả các $x - x'$ trong đó $x \in A$ và $x' \in A$) trùng với tập hợp $B = \bigcap_{J \in \mathfrak{F}(I)} \Phi(J)$; và trong mọi trường hợp $B + B \subset B$. Suy ra rằng nếu $A$ không rỗng thì $B$ là một nhóm con đóng của $G$ và rằng $A$ là một lớp ghép của $B$ trong $G$.