Bài tập 11, § 7

Xét một dãy $(a_n)$ mà mỗi số hạng là tổng của một dãy hữu hạn các số thực hữu hạn

Với mỗi cặp $(n, p)$ gồm các số nguyên dương sao cho $p \leq k_n$, nếu $m = \sum_{i=0}^{n-1} k_i + p$, đặt $c_m = b_{n,p}$. Chứng minh rằng nếu chuỗi có số hạng tổng quát là $a_n$ hội tụ trong $\mathbf{R}$, và nếu

dần tới 0 khi $n$ dần tới vô hạn, thì chuỗi có số hạng tổng quát là $c_m$ hội tụ và có cùng tổng với chuỗi có số hạng tổng quát là $a_n$.