Bài tập 21, § 1

a) Cho $X$ là một không gian tôpô. Chứng minh rằng hai tính chất sau là tương đương: $\alpha)$ mọi hàm liên tục giá trị thực hữu hạn trên $X$ đều bị chặn; $\beta$) mọi hàm liên tục giá trị thực bị chặn trên $X$ đều đạt các cận của nó. $X$ được gọi là giả compact nếu nó có các tính chất này. Nếu $X$ là giả compact và nếu $f$ là một ánh xạ liên tục bất kỳ của $X$ vào một không gian tôpô $X'$, thì $f(X)$ là giả compact.

b) Xét hai tính chất sau của một không gian tôpô $X$: $\gamma)$ nếu $(U_n)$ là một phủ mở đếm được bất kỳ của $X$, thì $X$ là hợp của một số hữu hạn các bao đóng $\overline{U}_n$; $\delta)$ mọi cơ sở lọc đếm được trên $X$ được tạo bởi các tập mở đều có ít nhất một điểm cụm. Chứng minh rằng $\gamma)$ và $\delta)$ là tương đương và chúng kéo theo rằng $X$ là giả compact. Đặc biệt, mọi không gian tôpô đóng tuyệt đối (Chương I, § 9, Bài tập 19) đều là giả compact. Nếu $X$ có các tính chất $\gamma)$ và $\delta)$, thì mọi không gian con của $X$ là bao đóng của một tập mở của $X$ cũng có các tính chất đó [xem § 4, Bài tập 26 b)].

c) Xét tính chất sau của một không gian tôpô $X$: $\zeta)$ mọi phủ mở hữu hạn địa phương của $X$ đều hữu hạn. Chứng minh rằng $\zeta) \Longrightarrow \gamma)$. [Nếu $(U_n)$ là một dãy tăng các tập con mở của $X$ phủ $X$ và sao cho $U_{n+1} \not\subset \overline{U}_n$, xét phủ tạo bởi các tập $U_{n+1} \cap \complement \overline{U}_n$ và phần bù của một dãy $(a_n)$ sao cho

Nếu $X$ là chính quy, hãy chỉ ra rằng $\gamma) \Longrightarrow \zeta)$. [Cho $(U_\alpha)$ là một phủ mở vô hạn, hữu hạn địa phương của $X$. Định nghĩa bằng quy nạp một dãy $(\alpha_n)$ các chỉ số, một dãy $(x_n)$ các điểm của $X$, và đối với mỗi $x_n$ hai lân cận mở $V_n$ và $W_n$ của $x_n$ sao cho: (i) ta có $\overline{V}_n \subset W_n$, $W_n \subset U_{\alpha_n}$, và $W_n$ gặp chỉ một số hữu hạn các tập hợp $U_\alpha$; (ii) $U_{\alpha_n}$ không gặp một $W_k$ nào với các chỉ số $k < n$. Bây giờ xét phủ được tạo thành bởi các $W_n$ và phần bù của hợp các $\overline{V}_n$.]

d) Trong một không gian chính quy hoàn toàn $X$, các tính chất $\alpha), \beta), \gamma), \delta)$ và $\zeta)$ đều tương đương với nhau, và tương đương với tính chất sau: $\theta)$ $X$ là tiền compact trong mọi cấu trúc đồng nhất tương thích với tôpô của nó. [Để chỉ ra rằng $\alpha) \Longrightarrow \zeta)$, chú ý rằng nếu $(U_n)$ là một phủ mở đếm được vô hạn, hữu hạn địa phương của $X$ và nếu $a_n \in U_n$, thì có một hàm thực liên tục $f$ trên $X$ sao cho $f(a_n) = n$ với mỗi $n$ [dùng (O_{IV})]. Để chỉ ra rằng $\theta) \Longrightarrow \alpha)$, dùng Bài tập 5 và nhận xét rằng trong một không gian tiền compact mọi hàm thực liên tục đều đặn là bị chặn. Để chỉ ra rằng $\gamma) \Longrightarrow \theta)$, chú ý rằng nếu $X$ không là tiền compact đối với một cấu trúc đồng nhất $\mathscr{U}$, thì có một lân cận đối xứng $V$ của $\mathscr{U}$ và một dãy $(x_n)$ các điểm của $X$ sao cho không có hai tập hợp $V(x_n)$ nào giao nhau.]

e) Nếu $X$ là một không gian giả compact chính quy hoàn toàn đầy đủ đối với một cấu trúc đồng nhất nào đó tương thích với tôpô của nó, thì $X$ là compact.

f) Trên một không gian giả compact chính quy hoàn toàn $X$, cấu trúc đồng nhất phổ quát (Bài tập 5) được cảm sinh bởi cấu trúc đồng nhất của compact hóa Stone-Čech của $X$, và là cấu trúc đồng nhất duy nhất, tương thích với tôpô của $X$, mà đối với nó mọi ánh xạ liên tục của $X$ vào $[0, 1]$ đều là liên tục đều.