Bài tập 25, § 2

Cho $X$ là một không gian mêtric hóa được, cho $\beta X$ là compact hóa Stone-Čech của nó ($§ 1$, Bài tập 7) và cho $d$ là một mêtric bị chặn tương thích với tôpô của $X$. Với mỗi $x \in X$, gọi $f_x(y)$ là hàm nhận giá trị thực thu được bằng cách mở rộng liên tục $y \to d(x, y)$ lên $\beta X$.

a) Chứng minh rằng $f_x(z) + f_y(z) \geq d(x, y)$ bất cứ khi nào $x$ và $y$ thuộc $X$ và $z$ thuộc $\beta X$. Với mỗi $y \in \beta X$ khác với $x \in \beta X$, chứng minh rằng $f_x(y) > 0$.

b) Chứng minh rằng nếu $X$ là đầy đủ đối với mêtric $d$, thì $X$ là giao của một dãy các tập hợp mở trong $\beta X$. [Xét tập hợp $G_n$ gồm tất cả các $y \in \beta X$ sao cho $f_x(y) < 1/n$ với ít nhất một điểm $x \in \varphi X$, và dùng $a$ để chứng minh rằng $X = \bigcap_n G_n$.]

c) Ngược lại, chứng minh rằng nếu $X$ là giao của một dãy các tập hợp mở $G_n$ trong $\beta X$, thì tồn tại một mêtric $d'$ trên $X$ tương thích với tôpô của $X$, và đối với mêtric này $X$ là đầy đủ. [Chỉ xét trường hợp $X \neq \beta X$, chú ý rằng $\beta X - X$ là hợp của một họ các tập hợp compact $F_n = \beta X - G_n$; với mỗi $n$, đặt $g_n(x) = \inf_{y \in F_n} f_x(y)$, và dùng $a$ để chứng minh rằng $g_n(x) > 0$ với mọi $x \in X$, và rằng $g_n$ liên tục trên $X$. Hoàn thành chứng minh như trong Bài tập 16 b) của $§ 1$.]