Exercice 25, § 2

Soient X un espace topologique séparé admettant une base dénombrable (U_n), R une relation d’équivalence dans X telle que X/R soit séparé et que tout point de X/R admette un système fondamental dénombrable de voisinages. Montrer que la topologie de X/R admet une base dénombrable. (Soit φ l’application canonique de X sur X/R. Prouver que les intérieurs des réunions finies d’ensembles φ(U_n) forment une base de la topologie de X/R. Pour cela, si V est un voisinage d’un point z ∈ X/R, et (W_k) une suite d’ensemble de la base $(U_n)$ contenus dans $\varphi(V)$ et formant un recouvrement de $\varphi^{-1}(z)$, montrer qu’il existe un nombre fini d’indices $k$ tels que la réunion des $\varphi(W_k)$ soit un voisinage de $z$. On raisonnnera par l’absurde, en formant, dans le cas contraire, une suite $(y_n)$ de points distincts de $X/R$, tendant vers $z$ et telle que $y_n$ n’appartienne pas à la réunion des $\varphi(W_k)$ pour $k \leq n$; montrer alors que la réunion des $\varphi^{-1}(y_n)$ serait fermée dans $X$.

Montrer que la même conclusion est valable si on suppose que $R$ est fermée et que toute classe suivant $R$ est compacte (méthode analogue).