Bài tập 17, § 4

(a) Nếu mọi phủ mở hữu hạn của một không gian tôpô $X$ là chia được (Bài tập 16), thì $X$ thỏa mãn Tiên đề $(O'_V)$ (xét một phủ mở nhị phân của $X$, nghĩa là một phủ được tạo thành bởi hai tập con của $X$). Ngược lại, nếu $X$ thỏa mãn $(O'_V)$, thì mọi phủ mở hữu hạn của $X$ cũng vậy [dùng Định lý 3 của no. 3, định lý này đúng với điều kiện $X$ thỏa mãn $(O'_V)$, để rút gọn về trường hợp một phủ nhị phân, rồi lại xử lý trường hợp này]. Khi $\mathfrak{R}$ chạy qua tập hợp các phủ mở hữu hạn của $X$, các tập $V_{\mathfrak{R}}$ tạo thành một hệ cơ bản các lân cận của một cấu trúc đều trên $X$, tương thích với tôpô của $X$; cấu trúc đều này được gọi là "cấu trúc đều của các phủ mở hữu hạn".

(b) Giả sử rằng $X$ là chuẩn. Chứng minh rằng cấu trúc đều $\mathscr{U}$ của các phủ mở hữu hạn là cùng một cấu trúc với cấu trúc đều thô nhất $\mathscr{U}'$ sao cho mọi ánh xạ liên tục của $X$ vào $[0, 1]$ đều là ánh xạ đều liên tục [nghĩa là, cấu trúc đều cảm sinh trên $X$ bởi cấu trúc đều của compact hóa Stone-\v{C}ech của nó ($§ 1$, Bài tập 7)]. [Để chứng minh rằng $\mathscr{U}$ thô hơn $\mathscr{U}'$, hãy dùng Định lý 3 của no. 3 và Tiên đề $(O_V)$ để xây dựng một họ hữu hạn các giả mêtric trên $X$ có dạng $(x, y) \to |f(x) - f(y)|$, sao cho một lân cận của cấu trúc đều được xác định bởi các giả mêtric này được chứa trong một lân cận của cấu trúc đều $\mathscr{U}$.

(c) Cho $X$ là một không gian chuẩn và cho $\beta X$ là compact hóa Stone-\v{C}ech của nó. Với mỗi tập con đóng $Y$ của $X$, gọi $\overline{Y}$ là bao đóng của $Y$ trong $\beta X$. Chứng minh rằng ánh xạ liên tục từ $\beta Y$ vào $\overline{Y}$ kéo dài ánh xạ đồng nhất của $Y$ ($\beta Y$ là compact hóa Stone-\v{C}ech của $Y$) là một đồng phôi [hoặc dùng b) hoặc dùng Định lý 2 và tính chất phổ quát của $\beta Y$]. Nếu $Y$ và $Z$ là hai tập con đóng của $X$, chứng minh rằng $\overline{Y \cap Z} = \overline{Y} \cap \overline{Z}$ trong $\beta X$ (nếu $x_0 \notin \overline{Y \cap Z}$ và $x_0 \in \overline{Y}$, xét một lân cận đóng $V$ của $x_0$ trong $\beta X$, sao cho $V \cap Y$ và $Z$ là các tập con đóng rời nhau của $X$).