Bài tập 7, § 3

a) Chứng minh rằng, trong ký hiệu của no. 5, không gian $L_{n,p}$ đồng phôi với tích của $V_{n,p}$ và $\mathbf{R}^{p(p+1)/2}$. Chú ý rằng mọi ma trận $X \in L_{n,p}$ có thể được biểu diễn duy nhất dưới dạng $U . Y$, trong đó $y \in V_{n,p}$ và $U = (u_{ij})$ là sao cho $u_{ij} = 0$ khi $i < j$, và $u_{ii} > 0$ với $1 \leqslant i \leqslant p$. Đặt $Y = f(X)$.

b) Trong ký hiệu của no. 5, Mệnh đề 8, chứng minh rằng $f$ là một đồng phôi từ $B_\sigma$ lên $f(B_\sigma)$ [chú ý rằng $X \to f(X^{-1}_\sigma X)$ là một ánh xạ liên tục từ $A_\sigma$ lên $f(B_\sigma)$ và rằng $f(X^{-1}_\sigma X)$ thuộc cùng một lớp với $X$ mod $\Delta_{n,p}$; sau đó áp dụng Bổ đề 2]. Suy ra rằng giao $D_\sigma$ của $A_\sigma$ và $V_{n,p}$ đồng phôi với tích của $V_{p,p}$ và $\mathbf{R}^{p(n-p)}$ [mọi ma trận thuộc $D_\sigma$ đều biểu diễn được duy nhất dưới dạng tích của một ma trận của $V_{p,p}$ và một ma trận của $f(B_\sigma)$].