Bài tập 20, § 4

a) Cho $X$ là một không gian compact, cho $A$ là một $\mathbf{R}$-đại số có hạng hữu hạn với một phần tử đơn vị, và trang bị cho $A$ tôpô được xác định trong Chương VI, § 1, no. 5. Cho $B$ là một đại số con của $\mathbf{R}$-đại số $\mathscr{C}(X; A)$, và giả sử rằng, với mỗi $\varepsilon > 0$, mỗi cặp điểm phân biệt $x, y$ của $X$ và mỗi cặp phần tử $u, v$ của $A$, tồn tại $f \in B$ sao cho $\|f(x) - u\| \leq \varepsilon$ và $\|f(y) - v\| \leq \varepsilon$ ($\| \ \|$ là bất kỳ chuẩn nào xác định tôpô của $A$); và giả sử thêm rằng, nếu $u$ và $v$ thuộc $\mathbf{R}$, có một hàm $f \in B$ thỏa mãn các điều kiện này và nhận các giá trị của nó trong $\mathbf{R}$. Chứng minh rằng, dưới các giả thiết này, $B$ là trù mật trong $\mathscr{C}(X; A)$ đối với tôpô của sự hội tụ đều. [Trước hết chứng minh rằng mọi hàm của $\mathscr{C}(X; \mathbf{R})$ có thể được xấp xỉ đều bởi các hàm của $B$, rồi chứng minh rằng điều tương tự đúng với mọi hằng $a \in A$, bằng cách sử dụng các giả thiết và một phân hoạch của đơn vị.]

b) Lấy $A = \mathbf{H}$, vành chia các quaternion trên $\mathbf{R}$. Cho $B$ là một đại số con của $\mathbf{R}$-đại số $\mathscr{C}(X; \mathbf{H})$ sao cho: (i) với mỗi $f \in B$, phần tử liên hợp $\overline{f}$ của $f$ [được xác định bởi $\overline{f}(x) = \overline{f(x)}$ với mọi $x \in X$] thuộc $B$; (ii) với mỗi $\varepsilon > 0$, mỗi cặp điểm phân biệt $x, y$ của $X$ và mỗi cặp phần tử $u, v$ của $\mathbf{H}$, tồn tại $f \in B$ sao cho $\|f(x) - u\| \leq \varepsilon$ và $\|f(y) - v\| \leq \varepsilon$. Chứng minh rằng $B$ là trù mật trong $\mathscr{C}(X; \mathbf{H})$ [sử dụng a)].

c) Mở rộng các kết quả của Bài tập 13 cho đại số $\mathscr{C}(X; \mathbf{H})$, và đặc biệt chứng minh rằng mọi iđêan đóng của đại số này là hai phía [lập luận như trong Bài tập 19, sử dụng b)].