习题 9, § 3

令$A$为交换环，$B$一个$A$代数，$(C_\lambda)_{\lambda \in L}$一个$A$代数族，以及$C_\lambda$和$B$的$B_\lambda = C_\lambda \otimes_A B$张量积代数 $\lambda \in L$。设$E$为左$B$模。 集合$E_\lambda = B_\lambda \otimes_B E = C_\lambda \otimes_A E$；这是一个 $(B_\lambda, C_\lambda)$ 双模块。类似地，如果$F$是右$B$模，则集合

这是一个 $(C_\lambda, B_\lambda)$ 双模。

(a) 证明$(C_\lambda, C_\lambda)$双模$F, \otimes_{B_\lambda} E_\lambda$与$(F \otimes_B E) \otimes_A C_\lambda$同构的。

(b) 证明，如果 $E$ 是平坦（或忠实平坦）$B$ 模，则每个 $E_\lambda$ 都是平坦（或忠实平坦）$B_\lambda$ 模。如果我们进一步假设 $\bigoplus_{\lambda \in L} C_\lambda$ 是一个忠实的扁平 $A$ 模块，则逆命题为真。

(c) 证明，如果 $L$ 是有限的，则每个 $E_\lambda$ 都是有限生成的射影 $B_\lambda$ 模，且 $\bigoplus_{\lambda \in L} C_\lambda$ 是忠实平坦的 $A$ 模，则 $E$ 是有限生成的射影 $B$ 模（应用命题 12 no. 6）。