习题 1, § 1

(a) 证明群 G 不能是与 G 不同的两个子群中的并。证明，对于每个集合 I 至少有两个元素，交换律群 $G = F_2^{(I)}$ 是并与 G 不同的三个子群。

(b) 令$(H_i)_{i \in I}$为群G的子群的有限族，使得每个H_i是无限指标的G的子群。证明 G 不能是 H_i 的有限数左陪集的并。 （通过I中元素的数进行归纳论证；如果存在两个不同的指标 i，j，使得指标 $(H_i : (H, nH_j))$是有限的，则H可以被抑制；另一方面，如果$H_i \cap H_j$在H中是无限的指标，对于不同指标的每个有序对 (i, j)，考虑指标 k，使得$H_k$在$H_i$的集合中最大，并证明$H_k$是$H_k \cap H_i$左陪集的有限数的并其中 $i \neq k$。）

(c) 给出交换环 A 的例和 A 的四个理想 $a, b_1, b_2, b_3$，使得 $a \notin b_i$ ($i = 1, 2, 3$)，但$a = \bigcup_i b_i$（使用 (a)）。