习题 19, § 2

设$\mathscr{F}$为环$A$的左理想集合；假设 $\mathscr{F}$ 是拓扑化且幂等的（习题 16 和 18）。

(a) 证明，如果 $m \in \mathscr{F}$、$n \in \mathscr{F}$ 和 $u \in \mathrm{Hom}_A(n, A_s)$，则$\overline{u}^1(m) \in \mathscr{F}$（考虑正合序列 $0 \to n/\overline{u}^1(m) \to A_s/\overline{u}^1(m) \to A_s/n \to 0$）。对于每个$A$-模块$M$和所有$v \in \mathrm{Hom}_A(m, M)$，让$u.v$表示复合同态$\overline{u}^1(m) \xrightarrow{u} m \xrightarrow{v} M$的$M_{(\mathscr{F})}$（习题17（c））中的典范像。证明映射 $(u, v) \mapsto u.v$ 是$\mathbf{Z}$-双线性；有对应 $\mathbf{Z}$ 线性映射

这些映射形式直接系统及其直极限因此对应规范地到$\mathbf{Z}$双线性映射

证明，如果$M = A_0$，$\psi$是合成的内部律，这使得$A_{(\mathscr{F})}$变成环，并且对于这个结构，典范映射$A \to A_{(\mathscr{F})}$是环同态。对于任何左$A$-模块$M$，$\psi$是定义在$M_{(\mathscr{F})}$左$A_{(\mathscr{F})}$-模块结构上的外法则；有了这个结构（和典范映射$A \to A_{(\mathscr{F})}$）典范映射$M \to M_{(\mathscr{F})}$是一个$A$-模块同态。

(b) 如果 $i : M \to M_{(\mathscr{F})}$ 是典范同态，则证明

并且$A$-模块$\operatorname{Coker}\,(i) = M_{(\mathscr{F})}/i(M)$是9-可以忽略不计。

(c) 对于每个左$A$-模块$M$，让$M_{\mathscr{F}}$表示左$A$-模块$(M/\mathscr{F}M)_{(\mathscr{F})}$和$j_M$复合典范映射

那么$\operatorname{Ker}(j_M) = \mathscr{F}M$和$A$模块$\operatorname{Coker}(j_M) = M_{\mathscr{F}}/j_M(M)$是$\mathscr{F}$可以忽略不计。

令$u : P \to M$、$h : P \to Q$为$A$-模块同态，使得$\operatorname{Ker}(h)$和$\operatorname{Coker}(h)$可忽略$\mathscr{F}$；证明存在唯一的$A$同态$v : Q \to M_{\mathscr{F}}$，使得下面的图表可交换

（首先约化为$h$单射的情况；然后，将$P$与$Q$、注的子模识别，对于$x \in Q$，存在$m \in \mathscr{F}$使得$mx \in P$和映射$x$为复合同态的$M_{\mathscr{F}}$中的典范像

(d) 对于每个$A$-模同态$u : M \to N$表明存在唯一同态$u_{\mathscr{F}} : M_{\mathscr{F}} \to N_{\mathscr{F}}$，这使得以下图表可交换

（使用（a）、（b）和（c））。表明，如果

是正合序列 / A-模, 序列

is exact (note that the mapping $M/\mathscr{F}M \to N/\mathscr{F}N$ derived from $u$ by taking quotients is injective).

证明映射 $j_{M_{\mathscr{F}}}$ 和 $(j_M)_{\mathscr{F}}$ 重合和同构（因此$\mathscr{F}M_{\mathscr{F}} = 0$）。如果 $N'$ 是 $M_{\mathscr{F}}$ 的子 A 模块，则 $(j_{M_{\mathscr{F}}}^{-1}(N'))_{\mathscr{F}}$ 被规范地标识为 $N'_{\mathscr{F}}$（请注意，如果我们写 $N = j_M(N')$，$N'/j_M(N)$ 是 9 可以忽略不计）。

(e) 令 M 为左A-模且 $\phi : A \times M \to M$ Z 双线性映射 $(a, m) \mapsto am$。证明存在唯一的 Z 双线性映射 $\phi_{\mathscr{F}} : A_{\mathscr{F}} \times M_{\mathscr{F}} \to M_{\mathscr{F}}$ 使得以下图表可交换

我们还在 $A_{\mathscr{F}}$ 环结构和 $M_{\mathscr{F}}$ 上构建了定义左 $A_{\mathscr{F}}$ 模块结构。如果$u : M \to N$是A-模同态，则$u_{\mathscr{F}} : M_{\mathscr{F}} \to N_{\mathscr{F}}$是$A_{\mathscr{F}}$模同态。在阶中，对于每一个A-模M，$\mathrm{Hom}_A(M, N)$到$\mathrm{Hom}_{A_{\mathscr{F}}}(M_{\mathscr{F}}, N_{\mathscr{F}})$的映射$u \mapsto u_{\mathscr{F}}$是双射的，$j_N$是双射的是充分必要的。

(f) 取 A 为交换域 K 上的多项式环 $K[X, Y]$，$\mathscr{F}$ 为理想 $m = (X) + (Y)$ 的包含幂理想的（拓扑和幂等）集合。如果 $M = A/AX$ 和 $u : A \to M$ 是典范映射，则证明 $u_{\mathscr{F}} : A_{\mathscr{F}} \to M_{\mathscr{F}}$ 不是满射。 （证明$A_{\mathscr{F}}$与A相同，$M_{\mathscr{F}}$与$K[\overline{Y}, 1/\overline{Y}]$相同，其中$\overline{Y}$是M中Y的类，因此$X\overline{Y} = 0$和$X(1/\overline{Y}) = 0$。）

(g) 如果我们集合$\mathscr{F}^1M = M_{\mathscr{F}}/j_M(M)$，证明对于A-模的每一个正合序列$0 \to M \to N \to P \to 0$，有正合序列

（使用蛇图表）。

(h) 令$\mathscr{F}'$为$A_{\mathscr{F}}$的左理想$l'$的集合，使得$(A_{\mathscr{F}})_s/l'$是可忽略的$\mathscr{F}$A-模：证明$\mathscr{F}'$是$A_{\mathscr{F}}$的左理想集合包含 $j_A(m)$，其中 $m \in \mathscr{F}$（使用 (d) 的正合序列，观察所有 $m \in \mathscr{F}$ 的 $m_{\mathscr{F}} = A_{\mathscr{F}}$；因而 $A_{\mathscr{F}}/j_A(m)$ 是 9 可忽略不计）。 对于每个$A_{\mathscr{F}}$-模块$M'$、$\mathscr{F}M' = \mathscr{F}'M'$（$M'$通过$j_A$被视为$A$-模块），$\mathscr{F}'$是拓扑化和幂等的，$M'_{\mathscr{F}'}$被规范地标识为$M'_{\mathscr{F}}$。