习题 21, § 2

令$A$为交换环，且$\mathscr{F}$为$A$理想的拓扑且幂等集合。 (a) 那么环 $A_{\mathscr{F}}$ 是可交换的（注，如果 $m \in \mathscr{F}$ 且

然后$u(m^2) \subset m$；如果 $v$ 是 $\operatorname{Hom}_A(m, A)$ 的另一个元素，则表明 $x \in m, y \in m$。 (b) 令 $\mathscr{F}'$ 为 $A_{\mathscr{F}}$ 的理想$l'$族，使得$A_{\mathscr{F}}/l'$ 9-可忽略不计（习题 19 (h)）。 Show that the mapping $p \mapsto p_{\mathscr{F}}$ is a bijection of the set of ideals $p$ of $A$ not belonging to $\mathscr{F}$ onto the set of prime ideals of $A_{\mathscr{F}}$ not belonging to $\mathscr{F}'$. (Show first that, if $A$ is an integral domain, so is $A_{\mathscr{F}}$, making the same note as in (a); then use the exact sequence of Exercise 19 (d) to show that $\mathfrak p_{\mathscr F}$ is prime. 如果$\mathfrak p'$是$A_{\mathscr F}$而不是属于到$\mathscr F'$和$\mathfrak p=\bar j_A^{-1}(\mathfrak p')$的素理想，请记住$\mathfrak p'=\mathfrak p_{\mathscr F}$。）

(c) 令 B 为 B 的左理想 I 的 A-代数和 $\mathscr G$ 集合，使得 $B_s/I$ $\mathscr F$ 可忽略不计。证明 $\mathscr G$ 是 B 包含的左理想的集合形式 $B\mathfrak m$ 的理想，其中 $\mathfrak m\in\mathscr F$；推导出 $\mathscr G$ 是拓扑和幂等的，并且对于每个 B-模 N，$\mathscr F N=\mathscr G N$ 和 $N_{\mathscr F}$ 都被规范地标识为 $N_{\mathscr G}$。

(d) 令 S 为 A 的乘法子集和 A 满足 S 的理想的 $\mathscr F$ 集合。证明 $\mathscr F$ 是拓扑和幂等的，并且对于每个 A-模 M，$M_{(\mathscr F)}$ 和 $M_{\mathscr F}$ 都与 $S^{-1}M$ 规范地一致（注$\mathscr F$包含的每个理想都是主要理想$As$，其中$s\in S$）。