习题 23, § 2

(a) 令 A 为左诺特环，且除子不为 0。证明 A 拥有左分式的域（使用习题 14 (a) 表明习题 22 (b) 的条件 $(\beta_1)$ 满足$S = A - \{0\}$）。

(b) 设 $A$ 为左，右诺特环，其中除子不为 0。证明每个有限生成的左 $A$-模块 $M$，其每个元素 $\neq 0$ 都是自由的，是一个自由的子模 $A$-模块。 （将$M$规范地嵌入到$K \otimes_A M$中，其中$K$是$A$的分数（左或右）的域，被视为右$A$模块；如果$(x_i)$是左向量的基 $K$-空间$K \otimes_A M$，表明$A$中存在$a \neq 0$，使得$M$包含在由$a^{-1} x_i$生成的$K \otimes_A M$的子$A$模块中。）