习题 27, § 2

(a) 令 $A$ 为环且 $M$ 为有限生成的忠实 $A$ 模块。证明，如果 $a, b$ 是 $A$ 的两个理想，使得 $aM = bM$，则 $a$ 和 $b$ 的根式相等（使用 no. 2，推出 2 到命题 4）。

(b) 由(a)推导出，如果整环$A$$p$是有限生成的素理想，则$p^m \neq p^n$对于$m \neq n$。

(c) 设 $K$ 为域和 $A$ 多项式环 $K[X, Y]$ 两个不定式。令$a$为理想$AX^4 + AX^3Y + AXY^3 + AY^4$，$b$为$A$的理想$a + AX^2Y^2$；证明 $b \neq a$ 和 $b^2 = a^2$。